\chapter{分析算法}

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\section{调用图构建}

函数调用图的构建是该系统的核心分析能力。这一过程将解析后的函数定义及调用关系转化为结构化的图表示，从而实现对代码组织结构和依赖关系的全面分析。

\subsection{图论基础}

调用图构建过程基于图论，并针对软件调用关系的特点进行了特定调整：

\begin{definition}[有向调用图]
有向调用图$G = (V, E, W)$的定义如下：
\begin{itemize}
\item\ $V = \{f_1, f_2, ..., f_n\}$\ 表示函数顶点的集合；
\item\ $E \subseteq V \times V$\ 表示指示调用关系的有向边；
\item\ $W: E \rightarrow \mathbb{N}$\ 为边分配权重，用于反映调用频率或重要性。
\end{itemize}
其中，每条边$(f_i, f_j) \in E$均表明函数$f_i$直接调用了函数$f_j$。
\end{definition}

\begin{definition}[调用路径]
从函数$f_s$到函数$f_t$的调用路径$P$，是一系列函数$P = \langle f_s, f_1, f_2, ..., f_k, f_t \rangle$的序列，且对于该序列中任意相邻的两对函数，均有$(f_i, f_{i+1}) \in E$成立。
\end{definition}

\subsection{构建算法}

调用图构建算法会处理解析后的函数和调用数据，以生成全面的图结构：

\begin{algorithm}[H]
\caption{调用图构建}
\label{alg:call-graph-construction}
\begin{algorithmic}[1]
\Require\ 函数集合\ $F$,\ 调用关系集合\ $C$,\ 配置\ $\text{config}$
\Ensure\ 调用图\ $G = (V, E, W)$

\State $V \gets \emptyset$, $E \gets \emptyset$, $W \gets \{\}$
\State $\text{nameResolver} \gets \text{InitializeNameResolver}(F)$

\Comment{第一阶段：顶点创建}
\For{每个函数\ $f \in F$}
\If{$\text{ShouldInclude}(f, \text{config})$}
        \State $v \gets \text{CreateVertex}(f)$
        \State $V \gets V \cup \{v\}$
\ \ \ \ \EndIf
\EndFor

\Comment{第二阶段：边创建}
\For{每个调用关系\ $c \in C$}
\State $\text{caller} \gets \text{ResolveFunction}(c.\text{caller}, \text{nameResolver})$
\State $\text{callee} \gets \text{ResolveFunction}(c.\text{callee}, \text{nameResolver})$
    
\If{$\text{caller} \in V \land \text{callee} \in V$}
        \State $e \gets (\text{caller}, \text{callee})$
        \State $E \gets E \cup \{e\}$
        \State $W[e] \gets W[e] + 1$\ \Comment{增加调用频率}
\ \ \ \ \EndIf
\EndFor

\Comment{第三阶段：图验证与清理}
\State\ $G \gets \text{ValidateGraph}(V, E, W)$
\State $G \gets \text{ApplyFilters}(G, \text{config})$

\Return $G$
\end{algorithmic}
\end{algorithm}

\subsection{名称解析与消歧}

构建调用图时，最具挑战性的方面之一是：在存在函数重载、命名空间和模板实例化的情况下解析函数名称。

\paragraph{命名空间解析}\ 系统在解析过程中维护一个命名空间上下文栈，以准确解析限定的函数名称。这包括处理\ using\ 声明、命名空间别名以及依赖于参数的查找（ADL）。

\paragraph{重载解析}\ 当多个函数共享同一名称时，系统会尝试根据参数类型分析，将调用解析至特定的重载版本。这一点对于拥有大量函数重载的C++代码库尤为重要。

\paragraph{模板实例化映射}\ 模板函数调用会尽可能映射到其实例化形式，但完整的模板解析可能需要完整的编译上下文。

\begin{algorithm}[H]
\caption{函数名解析}
\label{alg:name-resolution}
\begin{algorithmic}[1]
\Require\ 调用点\ $s$,\ 可用函数\ $F$,\ 上下文\ $ctx$
\Ensure\ 解析后的函数\ $f$\ 或\ $\text{null}$

\State $\text{candidates} \gets \text{FindCandidatesByName}(s.\text{name}, F)$

\If{$|\text{candidates}| = 1$}
\Return $\text{candidates}[0]$\ \Comment{唯一匹配}
\EndIf

\Comment{应用命名空间解析}
\State\ $\text{candidates} \gets \text{FilterByNamespace}(\text{candidates}, ctx.\text{namespace})$

\If{$|\text{candidates}| = 1$}
\Return $\text{candidates}[0]$
\EndIf

\Comment{应用参数化解析}
\State\ $\text{candidates} \gets \text{FilterByParameters}(\text{candidates}, s.\text{args})$

\If{$|\text{candidates}| = 1$}
\Return $\text{candidates}[0]$
\ElsIf{$|\text{candidates}| = 0$}
\Return $\text{null}$\ \Comment{无有效解析结果}
\Else
\ \ \ \ \Return\ $\text{SelectBestMatch}(\text{candidates}, s)$\ \Comment{启发式选择}
\EndIf
\end{algorithmic}
\end{algorithm}

\section{循环检测算法}

在调用图中检测循环至关重要，它有助于识别可能影响程序行为或分析精度的递归函数调用和循环依赖关系。

\subsection{强连通组件}

该系统采用Tarjan算法来检测强连通分量（SCCs），该算法能够高效地识别调用图中的所有循环：

\begin{theorem}[SCC的性质]
在调用图中，每个强连通分量代表一组相互递归的函数。如果满足$|SCC| > 1$，则该分量内至少存在一个循环。
\end{theorem}

\begin{algorithm}[H]
\caption{Tarjan算法：SCC检测}
\label{alg:tarjan-scc}
\begin{algorithmic}[1]
\Require\ 调用图\ $G = (V, E)$
\Ensure\ 强连通分量集合\ $\mathcal{S}$

\State $\text{index} \gets 0$, $\text{stack} \gets \text{empty}$, $\mathcal{S} \gets \emptyset$
\State\ 初始化数组：$\text{indices}[|V|]$, $\text{lowlinks}[|V|]$, $\text{onStack}[|V|]$

\For{每个顶点\ $v \in V$}
\If{$\text{indices}[v]$未定义}
\ \ \ \ \ \ \ \ \State\ $\text{StrongConnect}(v)$
\EndIf
\EndFor

\Function{StrongConnect}{$v$}
\State $\text{indices}[v] \gets \text{index}$
\State $\text{lowlinks}[v] \gets \text{index}$
\State $\text{index} \gets \text{index} + 1$
\State $\text{stack.push}(v)$, $\text{onStack}[v] \gets \text{true}$

\ \ \ \ \For{每个后继节点\ $w$ of $v$}
    \If{$\text{indices}[w]$未定义}
\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \State\ $\text{StrongConnect}(w)$
            \State $\text{lowlinks}[v] \gets \min(\text{lowlinks}[v], \text{lowlinks}[w])$
    \ElsIf{$\text{onStack}[w] = \text{true}$}
            \State $\text{lowlinks}[v] \gets \min(\text{lowlinks}[v], \text{indices}[w])$
    \EndIf
\EndFor
    
\If{$\text{lowlinks}[v] = \text{indices}[v]$}
        \State $\text{component} \gets \emptyset$
    \Repeat
            \State $w \gets \text{stack.pop}()$
            \State $\text{onStack}[w] \gets \text{false}$
            \State $\text{component} \gets \text{component} \cup \{w\}$
    \Until{$w = v$}
        \State $\mathcal{S} \gets \mathcal{S} \cup \{\text{component}\}$
\EndIf
\EndFunction

\Return $\mathcal{S}$
\end{algorithmic}
\end{algorithm}

\subsection{循环分类}

该系统根据检测到的周期特征将其划分为多个类别：

**直接递归**：指那些直接调用自身函数，这是最简单的递归行为形式。

\paragraph{相互递归}\ 涉及两个互相调用的函数的循环，在诸如互递归下降解析器等算法中较为常见。

\paragraph{复杂循环}\ 涉及三个或更多函数的循环，可能表明存在复杂的算法模式或潜在的设计问题。

\paragraph{条件循环}\ 指因存在条件逻辑而可能并非始终执行的循环，此类循环可通过控制流分析在有条件的情况下识别。

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\section{树生成与可视化}

该系统生成树状结构的调用图表示，用于可视化和分析目的，并负责将通用图转换为树形结构。

\subsection{图中树提取}

由于调用图通常是无环有向图（DAG），但也可能包含循环，因此提取有意义的树形表示需要复杂的算法：

\begin{definition}[调用树]
从调用图$G$导出的调用树$T = (N, E_T, r)$是一个以根节点为起点的树，其中：
\begin{itemize}
\item\ $N \subseteq V$表示原图中部分函数的集合；
\item\ $E_T \subseteq E$表示构成无环结构的树边；
\item\ $r \in N$是被指定为根节点的函数。
\end{itemize}
\end{definition}

\begin{algorithm}[H]
\caption{带深度限制的树提取算法}
\label{alg:tree-extraction}
\begin{algorithmic}[1]
\Require\ 调用图$G = (V, E)$，根函数$r$，最大深度$d_{max}$
\Ensure\ 调用树$T = (N, E_T, r)$

\State $N \gets \{r\}$，$E_T \gets \emptyset$
\State $\text{queue} \gets [(r, 0)]$\ \Comment{用于广度优先搜索的队列，并记录各层深度}
\State\ $\text{visited} \gets \{r\}$\ \Comment{防止树中出现环路}

\While{$\text{queue} \neq \emptyset$}
\State $(v, \text{depth}) \gets \text{queue.dequeue}()$

\If{$\text{depth} \geq d_{max}$}
\ \ \ \ \ \ \ \ \textbf{continue}\ \Comment{严格遵守深度限制}
\ \ \ \ \EndIf

\ \ \ \ \For{each\ $(v, u) \in E$}\ \Comment{针对被$v$调用的每个函数}
\ \ \ \ \ \ \ \ \If{$u \notin \text{visited}$}
            \State $N \gets N \cup \{u\}$
            \State $E_T \gets E_T \cup \{(v, u)\}$
            \State $\text{visited} \gets \text{visited} \cup \{u\}$
            \State $\text{queue.enqueue}((u, \text{depth} + 1))$
    \EndIf
\EndFor
\EndWhile

\Return $T = (N, E_T, r)$
\end{algorithmic}
\end{algorithm}

\subsection{多根树生成}

为了进行全面分析，该系统可从多个入口点生成调用树的森林：

\paragraph{入口点识别}\ 系统可识别潜在的入口点，包括主函数、导出函数及回调函数。

\paragraph{覆盖分析}\ 生成多棵树，以确保全面覆盖代码库，并通过重叠分析识别共享的函数使用模式。

\paragraph{树合并}\ 在适当情况下，可将独立的树合并，以展示不同子系统之间的关系。

\section{复杂度分析}

\subsection{算法复杂度}

分析算法根据图结构和分析参数表现出不同的复杂度特性：

\begin{theorem}[调用图构建的复杂度]
给定$n$个函数以及$m$个调用关系，调用图构建算法具有以下特性：
\begin{itemize}
\item\ 时间复杂度：$\bigO{n + m \cdot \log n}$，且具备高效的名称解析能力；
\item\ 空间复杂度：$\bigO{n + m}$，用于图的存储；
\item\ 名称解析开销：每次调用的平均重载数为$k$时，开销为$\bigO{k \cdot \log n}$。
\end{itemize}
\end{theorem}

\begin{theorem}[环路检测的复杂度]
Tarjan的强连通分量（SCC）算法用于环路检测，其复杂度如下：
\begin{itemize}
\item\ 时间复杂度：$\bigO{n + m}$，其中$n = |V|$和$m = |E|$；
\item\ 空间复杂度：$\bigO{n}$，用于辅助数据结构的存储；
\item\ 输出复杂度：$\bigO{n + c}$，即检测到的环路数量为$c$。
\end{itemize}
\end{theorem}

\subsection{性能优化策略}

该系统实施了多种优化策略，以高效处理大规模代码库：

\paragraph{增量式图构建}\ 在分析经过修改的代码库时，系统能够增量更新调用图，而无需完全重新构建。

\paragraph{并行处理}\ 对于大型代码库，可通过将分析任务划分为多个线程，实现图构建与环路检测的并行化。

\paragraph{缓存与记忆化}\ 名称解析和模板实例化分析等耗时操作会被缓存，以避免重复计算。

\paragraph{惰性求值}\ 树的生成与详细分析均按需进行，而非预先计算所有可能的树。

\section{统计分析}

\subsection{图指标}

系统会计算多种指标，以表征调用图的特性：

\begin{definition}[调用图指标]
对于一个调用图\ $G = (V, E)$，定义如下：
\begin{itemize}
\item\ \textbf{Density}:\ $\rho(G) = \frac{|E|}{|V|(|V|-1)}$\ 衡量边密度
\item\ \textbf{Average\ degree}:\ $\bar{d}(G) = \frac{2|E|}{|V|}$\ 衡量连通性
\item\ \textbf{Clustering\ coefficient}:\ $C(G)$\ 衡量局部连通模式
\item\ \textbf{Diameter}:\ $\text{diam}(G)$ 衡量最大最短路径长度
\end{itemize}
\end{definition}

\paragraph{中心性度量} 该系统计算多种中心性度量，以识别重要功能：

\begin{itemize}
\item \textbf{In-degree centrality}: 被众多其他函数调用的函数
\item \textbf{Out-degree centrality}: 调用众多其他函数的函数
\item \textbf{Betweenness centrality}: 位于多条最短路径上的函数
\item \textbf{PageRank centrality}: 具有高递归重要性的函数
\end{itemize}

\subsection{分布分析}

对调用模式的统计分析有助于深入了解代码库的特性：

\paragraph{度分布} 对入度和出度分布的分析，可揭示代码库是否表现出无标度或其他特征网络属性。

\paragraph{路径长度分布} 函数间最短路径长度的分布，反映了代码库的层次深度与模块化程度。

\paragraph{组件大小分布} 对强连通组件大小的分析揭示了代码库中递归模式的广泛程度。

\begin{figure}[H]
\centering
\begin{tikzpicture}
\begin{axis}[
        width=10cm,
        height=6cm,
        xlabel={Function In-Degree},
        ylabel={Frequency},
        title={Example Degree Distribution Analysis},
        grid=major,
        legend pos=north east
    ]
    \addplot[blue,thick] coordinates {
            (0,150) (1,89) (2,45) (3,23) (4,12) (5,8) (6,4) (7,2) (8,1)
        };
    \addlegendentry{Observed Distribution}
        
    \addplot[red,dashed,thick] coordinates {
            (0,145) (1,85) (2,50) (3,30) (4,18) (5,11) (6,7) (7,4) (8,2)
        };
    \addlegendentry{Power Law Fit}
\end{axis}
\end{tikzpicture}
\caption{Statistical Analysis of Call Graph Properties}
\label{fig:degree-distribution}
\end{figure}

这些分析算法为全面理解C++代码库结构奠定了基础，并支持后续章节中所描述的复杂验证与报告功能。